Teorema lui Rolle

Teorema. Fie funcţia $f:I\rightarrow\mathbf{R}$ interval, a,b∈I, a<b.Dacă
° f este continuă pe [a,b],
° f este derivabilă pe (a,b),
° f(a)=f(b),
atunci există cel puţin un punct c∈(a,b) pentru care f'(c)=0.
Consecinţă. Între două răcini consecutive ale unei funcţii derivabile ş continue, există cel puţin o rădăcină a derivatei. Între două rădăcini consecutive ale derivatei unei funcţii există cel mult o rădăcină a funcţiei.
Şirul lui Rolle. Fie funcţia $f:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}$ derivabilă pe(a,b), continuă pe[a,b]. Fie c₁,c₂,...,c_k punctele critice ale funcţiei.
Definiţie. Şirul lui Rolle:$f(a),f(c_{1}),f(c_{2}),...,f(c_{k}),f(b).$. Numărul variaţiilor de semn din şirul lui Rolle este egal cu numărul rădăcinilor reale ale funcţiei.
Problema 8. Să se determine numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei $x^{2}-3x+\ln x=0,\;x>0.$
Soluţie. Funcţia $f:(0,\infty)\rightarrow\mathbf{R},\:f(x)=x^{2}-3x+\ln x$ este continuă, derivabilă pe $(0,\infty),\;f'(x)=2x-3+\frac{1}{x}.$ Punctele critice: $f'(x)=0\Leftrightarrow 2x-3+\frac{1}{x}=0\Leftrightarrow 2x^{2}-3x+1=0\Leftrightarrow x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{2}.$
$\lim_{x\searrow0}f(x)=-\infty,\;\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty$
Şirul lui Rolle: $$f(0)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(\frac{1}{2})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(1)\;\;\;\;\;f(\infty)$$ $$-\infty\;\;\;\;\;-\frac{5}{4}-\ln2\;\;\;\;\;-2\;\;\;\;\;+\infty$$ În rândul al doilea al şirului apare o singură variaţie de semn, deci ecuaţia f(x)=0 are o singură soluţie şi aceasta aparţine intervalului (1,∞).
Problema 9. Să se discute numărul soluţiilor ecuaţiei $x^{3}-3x^{2}-9x+m=0$ în funcţie de parametrul real $m\in\mathbf{R}.$
Soluţie. Fie $f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R},\;f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+m,\;f'(x)=3x^{2}-6x-9$, soluţiile ecuaţiei f'(x)=0 sunt c₁=-1, c₂=3.
Şirul lui Rolle: $$f(-\infty)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(3)\;\;\;\;\;f(+\infty)$$ $$-\infty\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;5+m\;\;\;\;\;\;\;\;\;m-27\;\;\;\;\;+\infty$$ Numărul variaţiilor de semn depinde de semnul expresiilor m+5 şi m-27
m |-∞ -5 27 +∞
m+5 | - - - - 0 + + + + + + +
m-27| - - - - - - - - 0 + + +

Dacă $$m\in (0,-5)\;\;\;\;\;f(-\infty)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(3)\;\;\;\;\;f(+\infty)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\infty\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty$$ ⇒∃x₁∈(3,∞).
Dacă $$m=-5\;\;\;\;\;f(-\infty)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(3)\;\;\;\;\;f(+\infty)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\infty\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty$$ ⇒∃x₁=x₂=-1, x₃∈(3,∞).
Dacă $$m\in (-5,27)\;\;\;\;\;f(-\infty)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(3)\;\;\;\;\;f(+\infty)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\infty\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty$$ ⇒∃x₁∈(-∞,-1),x₂∈(-1,3),x₃∈(3,∞).
Dacă $$m=27\;\;\;\;\;f(-\infty)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(3)\;\;\;\;\;f(+\infty)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\infty\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty$$ ⇒∃x₁∈(-∞,-1),x₂=x₃=3.
Dacă $$m\in (27,+\infty)\;\;\;\;\;f(-\infty)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(3)\;\;\;\;\;f(+\infty)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\infty\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty$$ ⇒∃x₁∈(-∞,-1).

Mergi la început